V letech 1911-19 navštěvoval F. Čůta vyšší gymnázium v Českých Budějovicích a v Třeboni. Po maturitě se přihlásil na pražskou techniku, kde až do roku 1923 studoval chemii u profesora Rudolfa Hace. Po skončení studií se stal jeho asistentem, přitom ale pokračoval ve svém vzdělávání na Přírodovědecké fakultě Univerzity Karlovy. V roce 1930 odjel na studijní cestu do Drážďan a později do USA. V roce 1936 se habilitoval na pražské technice v oboru analytické chemie. Profesorem byl jmenován v roce 1946, o deset let později se stal členem korespondentem ČSAV.
Jeho počáteční vědecká činnost zahrnovala některé práce v oblasti chemie anorganické a fyzikální, které později ovlivnily i jeho pojetí analytické chemie. V roce 1935 učinil nejdůležitější objev. Pomocí jeho univerzálního acidobazického indikátoru lze odhadnout kyselost, či naopak alkalitu zkoumaných roztoků, tedy pH, a to v mezích od 1,2 do 12,7. Před objevem univerzálního indikátoru bylo určení pH zdlouhavé a vyžadovalo řadu specifických indikátorů. Čůtův indikátor nebyl dosud překonán, na druhou stranu bouřlivý rozvoj elektrotechniky vede ke stanovení pH instrumentálními metodami. Vyráběné a používané pHmetry představují škálu od nejjednodušších (mají podobu tužky) až po složité, umožňující přesné stanovení pH na několik desetinných míst.
Vedle výzkumné činnosti byla důležitá i Čůtova činnost pedagogická. V roce 1925 u nás jako první zavedl praktika pro studenty. Byl autorem řady příruček a vysokoškolských skript. V letech 1961-72 byl předsedou Čs. společnosti chemické.